圆的面积怎么算,圆的面积公式推导方法

圆的面积怎么算

圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示，圆的面积公式为：S=πr²。其中S表示圆的面积；π为圆周率，它是一个无限不循环小数，一般无特殊要求的情况下，计算中π≈3.14；r是圆的半径。圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等。与圆相关的面积计算：圆面积：S=πr²，S=π(d/2)²。（d为直径，r为半径）。半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。（r为半径）。圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。圆的周长：C=2πr或c=πd。（d为直径，r为半径）。半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。（d为直径，r为半径）。扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R为扇形半径）。扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）。圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。什么是圆周率：一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比值。它圆周率π也等于圆形之面积与半径平方之比值。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）） ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10（约为3.14）。圆的性质：1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。3、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。4、有关圆周角和圆心角的性质和定理：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。（2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

圆的面积公式推导方法

对于任意一个圆，其面积S都是等于圆周率π与半径平方r^2的乘积。

或者说，任意一个圆的面积与其半径平方之比都是相同的常数——圆周率。

那么，这个结论是经过数学上的严格证明，还是一种数学直觉呢？事实上，圆面积公式（S=πr^2）在数学上能够严格证明，无论是我国古代的数学家，还是古希腊的数学家，都证明了这个公式。

圆面积公式的证明方法有很多种，下面简单举几个例子。

（1）极限法一如果把一个圆分成n个等份，然后将其拼接成如下的四边形：当n趋于无穷大之时，也就是圆分成了无穷多个等份，那么，该四边形就会变成长方形。

显然，这个长方形的长为半圆周长（πr），宽为圆的半径（r），该长方形的面积等于圆的面积，所以可得圆面积公式为：S=πr?r=πr^2。

不过，为了完成这样的证明，首先还需证明圆周长公式（C=2πr）。

通过相似三角形原理，用几何法很容易可以证明圆的周长与直径之比为相等的常数，该常数即为圆周率。

（2）极限法二把圆分成n等份，连接每个扇形中半径与圆的交点。

并假设每个扇形的圆心角为2θ，则2θ=2π/n。

考察其中一个三角形OAB，根据三角函数可得，OC=rcosθ，AB=2rsinθ，三角形OAB的面积为：S△OAB=1/2·AB·OC=r^2sinθcosθ当n趋于无穷大时，圆的面积可以表示为：S=lim(n→+∞)n·S△OAB根据极限原理，可以算出S=πr^2。

（3）积分法一严格意义上来说，这也是一种极限法，但这里是通过圆的方程（x^2+y^2=r^2）来严格计算圆面积：（4）积分法二如果把圆分成无数个厚度为dr的薄圆环，那么，每个圆环的面积为2πr·dr，对其进行积分可得：总之，圆的面积与半径平方的比值为圆周率是经过严格数学证明的，并非经验公式。