正弦定理的证明方法四种

正弦定理相关推论

正弦定理是解决三角形问题的基本定理之一，通常表示为：在任意三角形中，任意两边的长度与它们对应的角的正弦值成比例。即

a/sinA=b/sinB=c/sinC

其中a、b、c分别表示三角形中的三条边，A、B、C分别表示对应的三个内角。

基于正弦定理，我们还可以推导出以下几种推论：

1.余弦定理：在任意三角形中，任意两边和它们夹角的余弦值成反比。即

a2=b2+c2-2bc*cosA

b2=a2+c2-2ac*cosB

c2=a2+b2-2ab*cosC

2.直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边等于两腰边长的乘积除以斜边上对应角的正弦值。即

c=2RsinC（其中R为直角三角形的斜边上设定一个半径）

3.海伦公式：海伦公式是解决任意三角形面积问题的一个重要公式，它由正弦定理和面积公式推导而来。即

S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]

其中，S表示三角形面积，a、b、c分别表示三角形的三条边长，s为三角形半周长，即

s=(a+b+c)/2

以上推论都是以正弦定理为基础的重要结论，可以应用于各种三角形问题的解决中。

托勒密定理的六种证明方法

答：托勒密定理的六种证明方法分别是：引入正弦定理法、余弦定理法，设末知数函数法，几何面积等积法，引入辅助线几何全等法及引入复数法。

毕达哥拉斯定理如何证明

毕达哥拉斯定理就是我们常说的勾股定理。

勾股定理的内容是:

在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

即在直角三角形ABC中，角A丶B丶C的对边分别为a、b、c，角C为直角，则有a2十b2=c2。

这个定理的证明方法有很多，下面我们分别用正弦定理和余弦定理来证明这个勾股定理。

1)用正弦定理来证明。

证明:

根据正弦定理，有

a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R

(R为其外接圆半径)。

故a2=(2R)2x(SinA)2，b2=(2R)2x(SinB)2，c2=(2R)2x(SinC)2。

又有Sin90=1，(SinA)2十(CosA)2=1，Sin(90-A)=CosA。

所以a2十b2=(2R)2x(SinA)2十(2R)2x(SinB)2=(2R)2x(SinA)2十(2R)2x[Sin(90-A)]2=(2R)2x(SinA)2十(2R)2x(CosA)2=(2R)2x[(SinA)2十(CosA)2]=(2R)2x1=4R2，

又知c2=(2R)2xSinC=(2R)2xSin90=(2R)2x1=4R2

即a2+b2=c2(证毕)。

2)用余弦定理来证明。

证明:

由余弦定理知

a2=b2+c2-2bcCosA，b2=a2+c2-2acCosB，c2=a2+b2-2abCosC。

又因为CosC=Cos90=0，所以c2=a2+b2-2abCos90=a2+b2-2abx0=a2+b2。

即a2+b2=c2(证毕)。

可以看到，用余弦定理证明勾股定理更简单一些。

你有什么好方法呢？

正弦定理五种证明方法的推导过程

在△ABC中a：SinA=b：SinB=c：SinC=2R（R为△ABC外接圆半径）变形公式a：b：c=SinA：SinB：SinC，推导过程a=2RSinA，b=2RSinB，c=2RSinC代入即可。或用比例性质得a=bSinA/SinB

步骤1：在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。

CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。

CH=b·sinA

因为a·sinB=b·sinA

得到：a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2：证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。

作直径BD交⊙O于D。

连接DA。

因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度。因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等或垂直相等，所以∠D等于∠ACB。所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。

正弦定理的几个变形

变形公式：△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，使用正弦定理进行变形，有：

1、a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（齐次式化简）

2、asinB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csinA

3、a：b：b=sinA：sinB：sinC