欧拉公式,欧拉定理的证明过程
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欧拉定理的证明过程
有关数学公式的证明很多,下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。
(1)自然数的立方和=自然数之和的平方上述等式的左边为自然数的立方和,等式的右边为自然数之和的平方。
虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式,但通过如下的图形很直观地就能证明上式:把自然数立方和的图形平铺看来,其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方,所以就能证明上述等式成立。
(2)勾股定理这个公式为勾股定理,我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五,后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式。
下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法,这可以很容易证明勾股定理:大正方形的面积为:(a+b)^2大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和:4×(1/2ab)+c^2由此可得下式:(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2化简之后,即可得勾股定理:a^2+b^2=c^2(3)欧拉恒等式这个公式就是著名的欧拉恒等式,它被誉为最美的数学公式。
一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数0,以及最重要的数学符号——加号+、等号=。
欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式:对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得:再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得:显然,cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ),由此就能证明欧拉公式成立。
再令欧拉公式中的θ=π,即可得下式:e^(iπ)=-1+0对上式进行移项,最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。
(4)证明圆周率是无理数虽然人类早在三千多年前就已使用圆周率,但直到两百多年前,数学家才首次证明圆周率是一个无理数。
圆周率是无理数的证明方法不少,下面要介绍的是数学家Ivan M. Niven给出的反证法,这种方法简单而又巧妙。
倘若π为有理数,必然存在整数a和b,使得下式成立:π=a/b构造如下两个函数:其中n为正整数。
显然,f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都为整数。
而且f(x)和f^k(x)都会满足f(x)=f(π-x),它们都在x=0以及x=π处可积。
再构造函数G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx,并对其进行求导可得:对上式两边从0到π都进行积分可得下式:因为F(0)以及F(π)都为整数,故F(π)+F(0)亦是整数。
当x∈(0, π)时,显然有f(x)>0且sinx>0,故f(x)sinx>0,所以F(π)+F(0)>0,并且f(x)sinx在[0, π]上的积分为正整数。
当x∈(0, π)时,显然有a-bx<a,故(a-bx)^n<a^n。
因为x^n<π^n,所以可得如下的不等式:显然,当n→+∞时,f(x)sinx→0,由夹逼定理可得,f(x)sinx在[0, π]上的积分也会趋于0。
然而,上述的推导表明这个积分是正整数,所以两者出现了矛盾。
这意味着π=a/b不成立,所以圆周率必然为一个无理数。
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