高等数学极限 极限公式lim大全图片

高等数学极限

两个重要极限：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥a，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。极限的求法有很多种：1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。4、利用无穷小的性质求极限。5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

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01 开场白在学习洛必达法则之前，我们都会先接触到极限的夹逼定理。

在夹逼定理的学习中，最经典的例子就是：

上式中就是典型的 0/0 形式。

洛必达法则（法语：Règle de L'Hôpital，英语：L'Hôpital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法，由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。

维基百科02 洛必达法则定义：若两函数 f(x), g(x)在以 x = c 为断点的开区间可微，并且 g'(x) ≠ 0。

洛必达法则为了说的明白些，我们先构造两个函数 f(x) = x - 1 和 g(x) = -cot(πx/2)。

图1：洛必达法则（一）上图可以看出，在 x = 1 处，f(1) = g(1) = 0。

让我们稍作变换：推导过程那么，怎么去找一个简单的解释去理解这个概念呢？最后，我还是想结合物理知识对洛必达法则进行解释。

03 洛必达法则的物理解释图2：洛必达法则（二）我们再一次请出红蓝小球进行赛跑。

这一次的跑道已经规定好了。

假设红色和蓝色曲线分别为红蓝小球 距离~时间 的关系曲线。

这时候，我们回过头来看：f(x) 即表示为 蓝球 相对于 x轴 的距离；g(x) 即表示为 红球 相对于 x轴 的距离；那么，f(x) / g(x) 则是蓝、红小球在 相同时间 内运动的距离比。

距离 = 平均速度 * 时间所以，f(x) / g(x) = 蓝球平均速度 / 红球平均速度在上例中，洛必达法则可以理解为我们需要找到在 x = 1 附近的极短时间 dx 内的平均速度比。

引入积分无限分割的思想：时间段 x ~ x + dx 内，平均速度 = 时间点x的瞬时速度；知道这层关系之后，我们在来看两个小球赛跑的过程。

开始时，红球距离 x轴 比蓝球远很多；随时时间越来越靠近 x = 1，红球迎头赶上并同时到达。

也就是说，在 x = 1 时刻，红色和蓝色小球所处的位置是一样的，但是内在状态是不一样的。

就如同奥运短跑冠军和你我同处起跑线，但是奥运冠军体内定然有着超越你我的瞬时爆发力。

04 洛必达法则说人生微积分的学习过程可以体会很多人生道理。

比方说 A: f(x) 和 B: g(x) 的人生走到了尽头，回顾一生。

f(x) / g(x) : 表示一生的成就比较，由于A和B年龄相仿，f(x) / g(x)也可以理解为 一生中 A 和 B的平均努力程度，假设A是世界首富，B只是工薪阶层。

那么，我们可以总结A的平均努力程度一定大于B。

但是，当我们将时间定格在人生的某一个节点上的时候，lim( f(x) / g(x) )，结果则未可知。

有的人晃荡半生，一朝开窍，发愤图强。

有的人顺风顺水，不思进取，逐渐沉沦。

他出生在法国中世纪的贵族家庭，酷爱数学，师承大名鼎鼎的伯努利。

但终其一生并没有实质性成果。

据传，洛必达法则其实是洛必达的老师伯努利的学术论文。

由于伯努利生活落魄，学生洛必达就提出了金钱换知识产权的方案，成功从伯努利那买到了洛必达法则。

这一交易如果属实，那伯努利着实亏大发了。

同时，洛必达曾语出惊人，他说：“人这辈子一共会死三回：第一次是你的心脏停止跳动，生物学角度上的死亡；第二次是在葬礼上，认识你的人都来祭奠，社会关系和地位角度的死亡；第三次是最后一个记得你的人死后，真正的死亡；”想来确实很有道理，之前看过一部电影叫：Coco。

06 总结这次扯得有点多。